空間内の２つの球の関係

またまた数学（初等幾何学）の話です。

三次元空間内に２つの異なる球面があるとすると、そこにはどんな種類の位置関係が考えられるでしょう。

２つの球の半径をr1とr2、そして中心間の距離をdとしましょう。

まず、両者が全然接することなく離れている場合が考えられます。

これは r1 + r2 ＜ d ということです（状態１）。

それではそこから、段々とdを小さくしていったとしましょう。

どこかで r1 + r2 ＝ d となるはずです。

この時、２つの球面は一点で外接します（状態２）。

さらにdを小さくしていきます。

今度は２つの球面は交わります（状態３）。

r1とr2が等しいなら、d=0となる直前までその状態が続きます。

半径が等しくて中心まで一致してしまったら、これは「２つの異なる球面」ではないので、そこまでは考えないことにします。

r1とr2が等しくないなら、｜r1 - r2｜（差の絶対値）は０ではないある正の値をとります。

dがそれより大きい場合は、球面は交わり、状態３のままです。

しかしさらにdが小さくなり、｜r1 - r2｜と一致すると、２つの球面は今度は内接します（状態４）。

そして d ＜｜r1 - r2｜となると、小さいほうの球体は大きい方の球体に完全に内包されてしまい、球面同士は接しません（状態５）。

以上、５つの種類の位置関係を見ましたが、まず状態２と状態４は、d が厳密に特別な値（r1 + r2または｜r1 - r2｜）をとった時にのみ出現する、かなり特別な場合です。

わずかでも d が変化すると、すぐに隣の状態に移ってしまいます。

例えばr1 ＝ r2 ＝ １万km、d ＝ ２万kmだと状態２ですが、そこからdが0.01km小さくなっただけで、10km程度の広がりをもつ接点集合が出現します。

その意味で、測定誤差を考えると、状態２や状態４は事実上ありえない位置関係といっていいでしょう。